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Lv 4
? 發問時間： 科學數學 · 4 年前

求解方程式dy/dx=(-2xy^3 - 2)/(3x^2y^2 + e^y)?

求解方程式dy/dx=(-2xy^3 - 2)/(3x^2y^2 + e^y)

我解到∂M/∂y=-6xy^2 ∂N/∂x=6xy^2

所以知道這並非正合方程式

但是我不知道接下來該如何繼續解題

1 個解答

評分
  • ?
    Lv 5
    4 年前
    最佳解答

    dy/dx = ( - 2xy³ - 2 ) / ( 3x²y² + e^y )

    ( - 2xy³ - 2 )dx = ( 3x²y² + e^y )dy

    ( 2xy³ + 2 )dx + ( 3x²y² + e^y )dy = 0

    令 M = 2xy³ + 2 , N = 3x²y² + e^y

    則 ∂M/∂y = ∂N/∂x = 6xy²

    故原式為正合方程式( Exact ODE )

    因此存在 Φ( x , y ) = c1 滿足原式, 使得 :

    ∂Φ/∂x = 2xy³ + 2 , ∂Φ/∂y = 3x²y² + e^y

    Φ

    = ∫ ( 2xy³ + 2 )dx + f(y)

    = x²y³ + 2x + f(y)

    ∂Φ/∂y = 3x²y² + f ' (y) = 3x²y² + e^y

    f ' (y) = e^y

    f(y) = e^y + c2

    Φ( x , y ) = x²y³ + 2x + f(y) = c1

    x²y³ + 2x + e^y + c2 = c1

    x²y³ + 2x + e^y = c ..... Ans

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