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真真
真真 發問時間： 科學及數學數學 · 1 星期前

若x,y,z為正實數滿足x+y+z≧xyz,證明x ²+y²+z²≧xyz?

1 個解答

評分
  • 老怪物
    Lv 7
    1 星期前

    (昨晚的回答有問題, 算是回答了一半.

    今算是補全了.)

    設 xyz = k.

    則 x, y, z 之幾何平均為 k^(1/3).

    由算幾不等式,

        (x + y + z)/3 ≧ k^(1/3).

    若 k ≧ 1, 則由

        平方之平均 不小於 平均之平方,

    即:

        (x^2+y^2+z^2)/3 ≧ [(x+y+z)/3]^2

    得

            x^2 + y^2 + z^2

            ≧ 3[(x+y+z)/3]^2 = [(x+y+z)/3](x+y+z)

            ≧ [(x+y+z)/3]k

            ≧ k^(1/3) k

            ≧ k = xyz

    若 k < 1, 則

        (x + y + z)/3 ≧ k^(1/3)

    故

            x^2 + y^2 + z^2

            ≧ 3[(x+y+z)/3]^2

            ≧ 3k^(2/3)

            ≧ 3k

            > k = xyz

    故在 x+y+z≧xyz 條件下, 必有

        x^2 + y^2 + z^2 ≧ xyz

    註:

    僅當 xyz = k > 3^(3/2) 時, k > 3k^(1/3),

    條件

         x + y + z ≧ xyz 

    才會對 x, y, z 造成限制.

    當 xyz = k ≦ 3^(3/2) 時, 必有

         x + y + z ≧ xyz.

    所以, 在 x, y, z > 0 條件下,

        xyz≧3^(3/2) 且 x+y+z≧xyz ==> x^2+y^2+z^2≧xyz;

        xyz < 3^(3/2) ==>  x+y+z≧xyz 且 x^2+y^2+z^2≧xyz.

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