求證無論在12008的兩個0之間添加多少個3,都能被19整除?

設 12008  兩個0之間添加 n 個 3, 結果得

    N = 120*1o^(n+2) + 3*1o^(n+1)+...+3*1o^2+8

        = 114*1o^(n+2)

            + [6*1o^(n+2) + 3*1o^(n+1)+...+3*1o^2+8]

        = [114*1o^(n+2) + 57*1o^(n+1)]            + [6*1o^(n+1) + 3*1o^(n)+...+3*1o^2+8]

上式第1部分顯然是 19 的倍數. 第2部分

    M(n) = 6*1o^(n+1) + 3*1o^(n)+...+3*1o^2+8

             = 57*1o^n + M(n-1)

    M(1) = 608 = 19*32

故 M(1) 是 19 的倍數.

若 M(k) 是 19 的倍數, 則 M(k+1) 也是.

所以, for all positive integers n, 19 | M(n).

故 19 | N.

按: 12008 = 19*632 本身就是 19 的倍數.

      故, 可以馱成 for all nonnegative integers n, ...