求瑕積分之值

根據 Apostol 高微上的提示得到

圖片參考：http://i580.photobucket.com/albums/ss244/linch_1/p...

註：可參考myisland8132大大在遊藝數學圈裡的文章

http://tw.group.knowledge.yahoo.com/math-etm/artic...

不知道有沒有其他分法證!!

2009-08-25 23:18:25 補充：

謝謝大師的提醒

我已更正也把

C(2n+1,0)-C(2n+1,1)+...+(-1)^nC(2n+1,n)= (-1)^n C(2n,n)

的證明加上去了還請您再看看

Fourier級數我沒試過

我原本想那題 (sinx)^(2n) / x^2

與 (sinx)^(2n-1) / x 時答案會是一樣

可是苦惱湊不出來

1. Linch湊合的技巧很高明

2.最後一步

C(2n+1,0)-C(2n+1,1)+...+(-1)^nC(2n+1,n)= (-1)^n C(2n,n)

有點筆誤,且不是熟悉的公式!

3. 我是求(sinx)^2n的Fourier級數(有限項)求的!

2009-08-25 23:21:18 補充：

兩答案一樣沒錯,我也不知怎湊合!

∫[0~∞] (sinx)^(2n+1) / x dx之值, n為任意正整數

Ans. (-1) n/2 2n+1Σ[k = 0 to n] (-1) k 2n+1Ck

我是用公式代入的。網址是 http://mathworld.wolfram.com/SincFunction.html 中的 (37) 式

當n=0時, ∫[0~∞] sinx / x dx = π/2

當n=1時, ∫[0~∞] (sinx)^3 / x dx = π/4

與一般用複變函數論得出的結果一樣。

可惜我不知証明方法!!!

"Das Erfinden ist kein Werk des logischen Denkens, wenn auch sein Endprodukt an die logische Gestalt gebunden ist." Albert Einsteins