mathmanliu

質點受地心引力影響,沿光滑曲線(x, y)= ( 0.5L(t-sint), -0.5L(1-cost) )

由(0,0)下滑至(a, -L), a=πL/2, 問所需時間?

又若由曲線上任意點(p, q), 0<p<a , 下滑至同一時(a, -L),所需時間又為何?

Find lim(t->0) ∫[0~t] dx/√(cosx - cost) =?

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AE03435620/o/1011041011...

設質點受地心引力由點(0,L)沿圓形軌道滑至(a, 0), a, L >0 (圓心在第一象限,且圓與x軸相切於點(a, 0) ), 無空氣阻力,無摩擦力,問所需時間?

設質點受地心引力由點(0,L)沿直線滑至(a, 0), a, L >0, 無空氣阻力,無摩擦力,問所需時間?

浮力原理: 物理在液體中所受浮力=所排開液體的重量!

請以數學方式證明之.

Hint:

(1) 水深h處水壓P=ρgh (ρ=液體密度 kg/m^3, g=9.8 m/s^2)

(2) 水壓恆與接觸面垂直

直線族 2kx-(1-k^2)y = 2k^2 任意k,

恆與某平面曲線相切,試求此曲線方程式

設a, b, c為實數,且三數和=1, 平方和亦為1,試求

(1) 三數之 6次方和(a^6+b^6+c^6)的範圍?

(2) lim(n->∞) [a^(n+1)+b^(n+1)+c^(n+1)]/(a^n+b^n+c^n)的範圍?

已知空間中橢圓以A(1, -2, 2)為中心,短軸長為6,且B(3, 4, 5)為長軸頂點,

(這樣的橢圓有無限多個)

問橢圓上之點高度(z坐標)最大時, 最大值為何? 短軸頂點坐標為何?

已知空間橢圓,中心(0,0,0),長軸一頂點A(4, 4, 2), 短軸一頂點B(1,2,-2),

問橢圓上點坐標高度(z坐標)最大值,最小值各為何?

註:上一提問答案有湊合,這題答案未必是有理數喔!

也請以高中生作法求之.

設空間平面E過點P(1, 2, 2), Q(2, 1, 2), R(2, 2, 1)

圓C為平面E上過P, Q, R三點的圓

試求圓C上點的高度(z坐標)最大值,最小值各為何?

試求∫[0~∞] (sinx)^(2n) / x^2 dx之值, n為任意自然數.

試求∫[0~∞] (sinx)^(2n+1) / x dx之值, n為任意正整數.

試求∫[0~∞] dx/(1+ x^n) 之值, n=2,3,4,....

試求∫[0~∞] dx/(x^n + 1) 之值, n=2,3,4,....

已知數列a(n)=1/[n(n+1)], n=1,2,3,..., 試求

(1) Σ[n=1~∞] a(n) =?

(2) Σ[n=1~∞] [a(n)]^2 =?

(3) Σ[n=1~∞] [a(n)]^3 =?

設A(n)=C(n,1)/1- C(n,2)/2+C(n,3)/3 - ...- (-1)^n C(n,n)/n (共 n 項)

B(n)=1+1/2+1/3+...+1/n (共 n 項)

證明: A(n)= B(n), 對所有正整數 n 均成立!

試求 1/(1*2) - 1/(3*4) + 1/(5*6) - 1/(7*8)+ ...+ (-1)^n /[(2n+1)(2n+2)]+... 之值.

Note:不是近似值.

xy平面上, 曲線 x^3+y^3= xy

(1)作圖 (會有一個小圈圈, 且有一漸近直線)

(2)求曲線所圍小圈的面積

(3)求曲線之漸近直線的方程式

△ABC, 已知 A(6, 2), ∠B 之角平分線為 x + 2y = 5,

∠C 之角平分線為 3x + y = 5, 試求 BC 直線的方程式.

求定積分

(1)∫[0,π] 1/√(3- cosx) dx

(2)∫[0,π/2] (1+ 2 sinx + 3 cosx)/√(sinx*cosx) dx

註:答案可含Gamma function.