均勻連續能理解成自變數變化很小時，應變數視為常數嗎?

何謂 "視為常數"?

我的理解是: 不能視為常數.

均勻連續是: 當 |x-y| < d (與 e 有關) 時, 能保證 |f(x)-f(y)| < e.

因此, 若取 x1 < x2, < ..., 使 0 < x_i{i+1}-x_i < d, 則得

0 < x_n -x_1 < (n-1)d 而保證 |f(x_n)-f(x_1)| < (n-1)e

那麼, 可以說: 均勻連續一方面要永是逐點連續 (在指定範圍內處處連續),

而且在該範圍內 f(x) 的上升下降幅度大概不會超過某一直線的變化.

不過, 所謂 "變化幅度不超過某一直線的變化" 並不表示真的變化很平緩.

例如 f(x) = x sin(1/x) 當 x≠0, 且 f(0) = 0, 這是處處連續的, 而且

lim_{x→±∞} f(x) = 1, 因此可以證明它在 R 是均勻連續的. 然而, 它在

x 靠近 0 時是劇烈震盪的, 愈靠近 0 震盪頻率愈高 (但幅度愈小).

又如, f(x) = e^x 是指數成長, 但在任何有限區間 [a,b], -∞ < a < b < ∞,

此函數是均勻連續的. 所以, 界限此函數變化幅度的 "某直線" 斜率

可能很高 (視 b 之大小而定).