~ 極限幾何: 再續未了圓 ~

Question

圓 O1 的半徑為 r, 一正三角形內接於它,
此正三角形有一內切圓 O2, O2 有一內接正方形,
該正方形又有一內切圓 O3, O3 有一內接正五邊形,
正五邊形有一內切圓 O4, O4 有一內接正六邊形,
餘此類推,內切圓 On 有一內接正n+2邊形,
當 n→∞ , 問 On 半徑為何?

M.C. Amos Emmanuel WU:民富,_民智,_民主 · Accepted Answer

各位, 以下為知識長知足常樂所有的意見欄回答copy, 因在意見欄不可Po網址, 恐失部份珍貴回答,故未經許可而全登! 請選1樓回答為最佳吧, thx!

大家，試下這樣計吧：設 O₁ 的 半徑為 r₁、O₂ 的 半徑為 r₂、O₃ 的 半徑為 r₃、O₄ 的 半徑為 r₄，如此類推。r₁ = rr₂ = r₁ sin(180° ÷ 3 ÷ 2) = r₁ sin(30°)r₃ = r₂ sin(360° ÷ 4 ÷ 2) = r₂ sin(45°)r₄ = r₃ sin(540° ÷ 5 ÷ 2) = r₃ sin(54°)...r_n = r_{n-1} sin{ (n - 2) × 180° ÷ n ÷ 2 }r_n = r_{n-1} sin{ (n - 2)90°/n } r_n = ∏{ k = 3 to n } sin{ (k - 2)90°/k } 　 = ∏{ k = 3 to n } sin{ (1 - 2/k)90° } 　 = ∏{ k = 3 to n } sin(90° - 180°/k) 　 = ∏{ k = 3 to n } cos(180°/k) 　 = ∏{ k = 1 to n - 2 } cos[180°/(k + 2)]再用以下這個：http://math.stackexchange.com/questions/454139/limit-of-cosines-product

此極限之相關題目：

http://www.rqna.net/qna/rxrhqi-find-the-limit-of-prod-k-4-infty-cos-frac-pi-k.html

http://math.stackexchange.com/questions/829283/find-the-limit-of-prod-k-4-infty-cos-left-pi-over-k-right/829370
 
我的理解是，在一個 circle 之中，畫一個 inscribed equilateral triangle，
再在這個 inscribed equilateral triangle 之中，畫一個 inscribed circle，
再在這個 inscribed circle 之中，畫一個 inscribed square，
再在這個 inscribed square 之中，畫一個 inscribed circle，
再在這個 inscribed circle 之中，畫一個 inscribed regular pentagon，
．．．

始終prove唔到個infinite product，不如你答

好似要引用另一個series

http://ckrao.wordpress.com/2011/08/05/collection-of-infinite-products-i

http://math.stackexchange.com/questions/366844/how-can-i-deduce-cos-pi-z-prod-n-0-infty1-4z2-2n12

https://answers.yahoo.com/question/index?qid=20120224214410AAaaHFP

自由自在 · Answer

這樣子這個未了圓是不是已經圓了？

翔翔 · Answer

樓主你好  知足常樂知識長的解法是沒有錯的

設 O₁ 的 半徑為 r₁、O₂ 的 半徑為 r₂、O₃ 的 半徑為 r₃、O₄ 的 半徑為 r₄，如此類推。

r₁ = r
r₂ = r₁ sin(180° ÷ 3 ÷ 2) = r₁ sin(30°)
r₃ = r₂ sin(360° ÷ 4 ÷ 2) = r₂ sin(45°)
r₄ = r₃ sin(540° ÷ 5 ÷ 2) = r₃ sin(54°)
...

r_n = r_{n-1} sin{ (n - 2) × 180° ÷ n ÷ 2 }
r_n = r_{n-1} sin{ (n - 2)90°/n }

Tony · Answer

貓貓, 我不太明白題目
內接於, 內切圓, 有一內接 是什麼意思, 搞不清楚

? · Answer

Good morning, 顯示到了。

? · Answer

出邊顯示唔到～

你想call人黎答定係再發問？

呢幾日都係咁～

2014-07-01 06:44:52 補充：
大家，試下這樣計吧：

設 O₁ 的 半徑為 r₁、O₂ 的 半徑為 r₂、O₃ 的 半徑為 r₃、O₄ 的 半徑為 r₄，如此類推。

r₁ = r
r₂ = r₁ sin(180° ÷ 3 ÷ 2) = r₁ sin(30°)
r₃ = r₂ sin(360° ÷ 4 ÷ 2) = r₂ sin(45°)
r₄ = r₃ sin(540° ÷ 5 ÷ 2) = r₃ sin(54°)
...

r_n = r_{n-1} sin{ (n - 2) × 180° ÷ n ÷ 2 }
r_n = r_{n-1} sin{ (n - 2)90°/n }

2014-07-01 06:45:27 補充：
咦？　點解突然間可以顯示到？？

╭∧---∧╮
│ .✪‿✪ │　？？？
╰/) ⋈ (&#92;&#92;╯

2014-07-01 06:56:40 補充：
r_n = ∏{ k = 3 to n } sin{ (k - 2)90°/k }
 　 = ∏{ k = 3 to n } sin{ (1 - 2/k)90° }
 　 = ∏{ k = 3 to n } sin(90° - 180°/k)
 　 = ∏{ k = 3 to n } cos(180°/k)
 　 = ∏{ k = 1 to n - 2 } cos[180°/(k + 2)]

再用以下這個：
http://math.stackexchange.com/questions/454139/limit-of-cosines-product

2014-07-01 07:02:17 補充：
此極限之相關題目：

http://www.rqna.net/qna/rxrhqi-find-the-limit-of-prod-k-4-infty-cos-frac-pi-k.html

http://math.stackexchange.com/questions/829283/find-the-limit-of-prod-k-4-infty-cos-left-pi-over-k-right/829370

2014-07-04 06:29:12 補充：
我的理解是，在一個 circle 之中，畫一個 inscribed equilateral triangle，
再在這個 inscribed equilateral triangle 之中，畫一個 inscribed circle，
再在這個 inscribed circle 之中，畫一個 inscribed square，
再在這個 inscribed square 之中，畫一個 inscribed circle，
再在這個 inscribed circle 之中，畫一個 inscribed regular pentagon，
．．．

2014-07-04 22:54:02 補充：
好問題，但始終prove唔到個infinite product，不如你答

好似要引用另一個series

http://ckrao.wordpress.com/2011/08/05/collection-of-infinite-products-i

http://math.stackexchange.com/questions/366844/how-can-i-deduce-cos-pi-z-prod-n-0-infty1-4z2-2n12

https://answers.yahoo.com/question/index?qid=20120224214410AAaaHFP

~ 極限幾何: 再續未了圓 ~

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