f(x)=x^3與x=-2及x軸圍成一個區域R

若視為面積則為正值，改求x=0到2的範圍較好算，因為圖形對稱於原點△x=(2-0)/n=2/n Σ(i=1,n) f(ti)△xΣ(i=1,n) {[x(i-1)+xi]/2}^3△x=(1/n)^3△x+(3/n)^3△x+(5/n)^3△x+….+[2-(1/n)]^3△x=[1^3+3^3+5^3+……(2n-1)^3]/n^3 △x=(1/n^3){[1^3+2^3+3^+4^+…+(2n-1)^3]-[(2^3+4^3+6^3+…+(2n-2)^3]}△x=(1/n^3){[2n(2n-1)/2]^2-8[n(n-1)/2]^2}△x=(2n^2-1)/n △x=[(2n^2-1)/n](2/n)=4-(2/n^2) 當n ->∞,答案為4

2013-04-06 18:40:01 補充：

一般是視為求面積，若不視為求面積，則不可移到x=0到2來求

但若回到原題區間x=-2到0，算法完全相同，只是x值取的不同

此時各小區段的中點就不是1/n,3/n,5/n.....,(2-1/n)

而是(-2+1/n),(-2+3/n),(-2+5/n),...(-1/n)

這樣再取3次方計算的確會較麻煩

但對消的結果最後仍然會是以x=0到2算出結果的相反數

所以是吃力不討好，一般對稱圖形我們就會取好算的區間來算

因此若不視為面積，則x=-2到0區間的黎曼和就是上面答案乘上一個負號

-4+(2/n^2)

以上是我所了解的，若有謬誤，敬請指教。

2013-04-06 18:43:46 補充：

其實也可以這樣看

1/n,3/n,5/n.....,(2-1/n)和(-2+1/n),(-2+3/n),(-2+5/n),...(-1/n)

只是首尾顛倒後各項都差一個負號

所以也可以將之提出一個負號後以較容易的方式去作

這樣答案就是差一個負號無誤

2013-04-06 18:50:20 補充：

至於答案是要用n來表示沒錯，因為題目並沒有說n是多少

n只是分割的份數，n越大就越接近實值，也就變成積分

∫(-2,0) x^3 dx = (x^4)/4 (下限-2上限0) = -4

∫(0,2) x^3 dx = (x^4)/4 (下限0上限2) = 4

但n非無限大，故必須用n表示

所以答案是帶n的-4+(2/n^2)

或4-(2/n^2) [若是視為面積]