推導出開n次方根的方法

Question

A^(1/n)=X

1.請推導出Xi+1=Xi+(A/(Xi)^(n-1)-Xi)/n
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%96%B9%E6%A0%B9

用法:求10^(1/3)
設X0=1
X1=1+(10/1^2-1)/3=4
X2=4+(10/4^2-4)/3=2.875
X3=2.875+(10/2.875^2-2.875)/3=2.3199
...


2.請推導出Xi+1=(A/(Xi)^(n-1)+(n-1)Xi)/n
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/article?qid=1707032001800

用法:求10^(1/3)
設X0=1
X1=(10/1^2+2*1)/3=4
X2=(10/4^2+2*4)/3=2.875
X3=(10/2.875^2+2*2.875)/3=2.3199
...

sponge · Accepted Answer

首先證明您提出的二個逼近法完全一致

X(i+1)
=( A/(X(i))^(n-1) + (n-1)X(i) )/n
=( A/(X(i))^(n-1) -X(i) +nX(i) )/n
=X(i) + ( A/(X(i))^(n-1) -X(i) )/n

因此為與第一種方法完全一樣的遞迴關係式

而此關係式為牛頓切線法代入而來

解 n 次方根也就是解多項式 X^n - A = 0

因此設 f(x) = x^n - A, f'(x) = n x^(n-1)

X(i+1)
=X(i) - f(X(i))/f'(X(i))
=X(i) - ( (X(i)^n - A) / (n X(i)^(n-1)) )
=X(i) - ( (X(i)^n - A) / X(i)^(n-1) )/n
=X(i) - ( X(i) - (A/X(i)^(n-1)) )/n
=X(i) + ( (A/X(i)^(n-1)) - X(i) )/n

這就是第一個遞迴關係式了

希望如上回答對您有幫助！

推導出開n次方根的方法

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